על תורת הדינמיקה הסטטית: מסגרת למערכות אדפטיביות ממקור גיאומטרי

מאת: בן כהן

תקציר

מאמר זה מציג מסגרת מתמטית חדשנית, המכונה "דינמיקה סטטית", לתיאור מערכות מורכבות השומרות על יציבות באמצעות הסתגלות מתמשכת. אנו מניחים כי מערכות כאלה מתפתחות בתוך מרחב מצב המכיל "יריעה סטטית" – קבוצה של מצבי מושך (attractor states) המייצגים שיווי משקל הומאוסטטי. ליבת התיאוריה היא מנגנון הדלתא (\Delta), חוק בקרה אדפטיבי מוגדר היטב, המניע את המערכת לעבר יריעה זו בתגובה להפרעות פנימיות וחיצוניות כאחד. אנו ממדלים השפעות חיצוניות באמצעות פורמליזם של מטריצות סטוכסטיות, ומדגימים כי ניתן לפרש את המסגרת כולה כדינמיקה אפקטיבית ארבע-ממדית של מערכת חמש-ממדית גיאומטרית טהורה, באנלוגיה לתורת קלוצה-קליין.

חלק I: יסודות מתמטיים של מרחב המצב

חלק זה מבסס את האובייקטים המתמטיים הבסיסיים של התיאוריה, תוך מעבר ממושגים קלאסיים של שיווי משקל למסגרת המעודנת יותר של דינמיקה סטטית.

1.1 מרחב המצב ומשתני המערכת

אנו מגדירים את התצורה המיידית של המערכת באמצעות וקטור מצב x(t) \in \mathcal{M}, כאשר \mathcal{M} היא יריעה גזירה n-ממדית, המכונה מרחב המצב. בנוסף, אנו מציגים קבוצה של פרמטרים מתכווננים, \theta(t) \in \mathbb{R}^k, אשר קובעים את חוקי התנועה הפנימיים של המערכת. המצב השלם של המערכת הוא, אם כן, נקודה במרחב המורחב \mathcal{M} \times \mathbb{R}^k. התפתחות המערכת מתוארת על ידי מערכת של משוואות דיפרנציאליות רגילות מסדר ראשון מהצורה \dot{x} = f(x, \theta, u), כאשר u מייצג כניסות חיצוניות. צורה כללית זו היא סטנדרטית במידול מערכות דינמיות.

1.2 טקסונומיה של שיווי משקל: מסטטי להומאוסטטי

כדי למקם את התיאוריה החדשה שלנו, נסקור תחילה מושגי שיווי משקל קלאסיים. שיווי משקל סטטי מוגדר כמצב שבו הכוח השקול הוא אפס והאובייקט נמצא במנוחה (\dot{x}=0, \ddot{x}=0). שיווי משקל דינמי הוא מצב של איזון שבו תהליכים מנוגדים מתרחשים בקצבים שווים, וכתוצאה מכך אין שינוי נטו במערכת, אף על פי שהמערכת עצמה אינה במנוחה (למשל, תנועה במהירות קבועה או תגובה כימית בשיווי משקל).

עם זאת, מושגים אלה אינם מספקים לתיאור מערכות אדפטיביות מורכבות. אנו מציגים את מושג ההומאוסטזיס מהביולוגיה כאנלוג מתוחכם יותר עבור התיאוריה שלנו. הומאוסטזיס אינו שיווי משקל פיזיקלי פשוט, אלא תהליך פעיל וצורֵך אנרגיה של שמירה על משתנים פנימיים בטווח ערכים מסוים, באמצעות לולאות משוב. הוא נבדל במפורש משיווי משקל כימי או פיזיקלי. התפיסה של "דינמיקה סטטית" היא למעשה הכללה מתמטית של העיקרון הביולוגי של הומאוסטזיס. בעוד שמודלים קלאסיים של שיווי משקל אינם לוכדים את האופי הפעיל, האדפטיבי וצורך האנרגיה של היציבות המבוקשת, הומאוסטזיס מספק את התבנית הרעיונית המושלמת. המערכת אינה מאזנת כוחות, אלא מפעילה מנגנון בקרה כדי לשמור על מצב מטרה, בדומה לאופן שבו הגוף מווסת את טמפרטורת הגוף או את רמות הסוכר בדם.

טבלה 1: ניתוח השוואתי של מושגי שיווי משקל

מקורות לטבלה:

1.3 היריעה הסטטית כמושך (Attractor) של המערכת

אנו מגדירים באופן פורמלי את "הצורך הסטטי" של המערכת על ידי הנחת קיומה של תת-יריעה סטטית, \mathcal{S} \subset \mathcal{M}. תת-יריעה זו מייצגת את קבוצת כל מצבי שיווי המשקל הרצויים עבור המערכת.

בהתבסס על תורת המערכות הדינמיות, אנו מגדירים את \mathcal{S} כמושך (attractor) של הדינמיקה של המערכת. מושך הוא תת-קבוצה של מרחב המצב שאליה מסלולים מתכנסים לאורך זמן. כל המצבים ההתחלתיים בתוך אגן המשיכה של \mathcal{S} יתכנסו אליו כאשר t \to \infty.

המבנה של \mathcal{S} יכול להיות מורכב:

• נקודה בודדת: נקודת שבת יציבה (x^*), שבה f(x^*, \theta, 0) = 0.
• עקומה סגורה: מסלול גבול (limit cycle), המייצג התנהגות מחזורית או תנודתית יציבה. משפט פואנקרה-בנדיקסון מבטיח שבמערכות דו-ממדיות, מסלול חסום שאינו מתכנס לנקודת שבת חייב להתכנס למסלול גבול, ובכך מספק בסיס מוצק להומאוסטזיס תנודתי.
• קבוצה מורכבת ופרקטלית: מושך מוזר (strange attractor), המעיד על התנהגות כאוטית אך חסומה ויציבה. קיומם של מושכים כאלה מראה שניתן לתאר במסגרת זו גם יציבות מורכבת מאוד ולא מחזורית.

חלק II: מנגנון הדלתא (\Delta): ניסוח כבקרה אדפטיבית

חלק זה מנסח באופן פורמלי את מושג הליבה של "מנגנון הדלתא" על ידי ביסוסו באופן קפדני במתמטיקה של תורת הבקרה האדפטיבית.

2.1 מנגנון ה-\Delta כמערכת בקרת מודל ייחוס אדפטיבית (MRAC)

אנו מבססים אנלוגיה ישירה בין רכיבי הדינמיקה הסטטית לבין מערכת MRAC סטנדרטית. אנלוגיה זו מספקת ארגז כלים מתמטי רב עוצמה וקיים.

• התהליך (Plant): המערכת עצמה, המתוארת על ידי \dot{x} = f(x, \theta, u), עם פרמטרים \theta לא ידועים או משתנים.
• מודל הייחוס (Reference Model): היריעה הסטטית \mathcal{S} משמשת כהתנהגות הרצויה. לצורך יישום מעשי, ניתן להגדיר מסלול ייחוס x_m(t) הנמצא על \mathcal{S}.
• הבקר (Controller): הפונקציה f עצמה, המכילה את הפרמטרים המתכווננים \theta(t).
• מנגנון ההסתגלות (Adaptation Mechanism): מנגנון ה-\Delta, שהוא החוק הקובע את התפתחות הפרמטרים, \dot{\theta}(t).

מנגנון ה-\Delta אינו מושג מעורפל, אלא ניתן להגדירו במדויק כחוק אדפטיבי שמטרתו להניע את שגיאת העקיבה לאפס. כאן, השגיאה אינה הפרש מספרי פשוט, אלא המרחק הגיאומטרי במרחב המצב \mathcal{M} בין מצב המערכת הנוכחי לבין יריעת המטרה הסטטית \mathcal{S}. הגישה של MRAC, שבה מטרת מנגנון ההסתגלות היא למזער את השגיאה בין פלט התהליך לפלט מודל הייחוס, מספקת את המסגרת המתמטית המדויקת לפורמליזציה זו.

2.2 גזירת חוק ההסתגלות באמצעות יציבות ליאפונוב

אנו מגדירים וקטור שגיאת עקיבה. בחירה פשוטה היא e(t) = x(t) – x_m(t), כאשר x_m(t) היא הנקודה הקרובה ביותר על \mathcal{S} ל-x(t).

כדי להבטיח יציבות, אנו בונים את חוק ההסתגלות באמצעות שיטת ליאפונוב הישירה, אבן יסוד בבקרה לא ליניארית ואדפטיבית. אנו מגדירים מועמדת לפונקציית ליאפונוב חיובית-לחלוטין, V(e, \tilde{\theta}), כאשר \tilde{\theta} = \theta – \theta^* היא שגיאת הפרמטרים. בחירה נפוצה היא V = \frac{1}{2}e^T P e + \frac{1}{2}\tilde{\theta}^T \Gamma^{-1} \tilde{\theta}, כאשר P היא מטריצה חיובית-לחלוטין ו-\Gamma היא מטריצת הגבר ההסתגלות (adaptation gain) החיובית-לחלוטין.

אנו גוזרים את חוק ההסתגלות עבור מנגנון ה-\Delta על ידי אילוץ הנגזרת בזמן \dot{V} להיות שלילית-למחצה. תהליך זה מוביל באופן טבעי לחוק עדכון מבוסס גרדיאנט, כפי שמתואר ב-: \dot{\theta}(t) = \dot{\tilde{\theta}}(t) = – \Gamma e(t) \psi(t), כאשר \psi(t) הוא וקטור רגרסיה של אותות מדידים מהמערכת. חוק זה מבטיח ששגיאת העקיבה מתכנסת לאפס וכל האותות נשארים חסומים.

2.3 לולאות משוב וויסות הומאוסטטי

אנו מדגימים כי המערכת השלמה (תהליך + מנגנון \Delta) מהווה לולאת משוב שלילי. סטייה מנקודת המטרה (היריעה הסטטית \mathcal{S}) יוצרת שגיאה e(t), המוזנת למנגנון ה-\Delta. המנגנון מתאים אז את הפרמטרים \theta(t) כדי לשנות את הדינמיקה של המערכת באופן שמתנגד לסטייה המקורית ומקטין את השגיאה.

קישור זה מחבר במפורש את התיאוריה למודלים ביולוגיים של הומאוסטזיס, כגון ויסות רמת הסוכר בדם או בקרת טמפרטורה , שהם דוגמאות מובהקות למשוב שלילי. מנגנון ה-\Delta הוא הניסוח המתמטי הפורמלי של "מרכז הבקרה" ו"האפקטורים" בלולאות ביולוגיות אלו.

חלק III: דינמיקה סטוכסטית ואינטראקציה עם מערכות חיצוניות

חלק זה מתייחס ל"מטריצות אפשרויות הזמן" של המשתמש ומשלב את השפעתן של סביבות חיצוניות ובלתי צפויות.

3.1 מטריצות אפשרויות זמן כמפעילי מעבר מרקוביאניים

אנו מפרשים את "מטריצות אפשרויות הזמן" כמטריצות מעבר סטוכסטיות מתורת שרשראות מרקוב.

אנו ממדלים את השפעת הסביבה החיצונית כתהליך הגורם ליריעה הסטטית \mathcal{S} לעבור בין קבוצה בדידה של תצורות אפשריות, \{\mathcal{S}_1, \mathcal{S}_2,…, \mathcal{S}_N\}.

המעבר מתצורה \mathcal{S}_i לאחרת \mathcal{S}_j בצעד זמן נתון נקבע על ידי ההסתברות P_{ij}. המטריצה P = [P_{ij}] היא מטריצה סטוכסטית שורתית, שבה \sum_j P_{ij} = 1 לכל i.

אם \pi(t) הוא וקטור שורה המייצג את התפלגות ההסתברות של המערכת להיות בכל מצב מטרה בזמן t, אזי ההתפלגות בצעד הזמן הבא ניתנת על ידי \pi(t+1) = \pi(t)P. מודל זה מתאר כיצד מצב המטרה של המערכת מתפתח באופן הסתברותי לאורך זמן עקב גורמים חיצוניים.

3.2 הדינמיקה המלאה של המערכת: מערכת אדפטיבית ממותגת

המערכת השלמה היא כעת מערכת היברידית. בתוך כל מרווח זמן שבו יריעת המטרה קבועה ב-\mathcal{S}_i, המערכת מתפתחת באופן דטרמיניסטי על פי מנגנון ה-\Delta שתואר בחלק II. במרווחי זמן בדידים, הסביבה החיצונית גורמת ל"מיתוג" הסתברותי ליריעת מטרה חדשה, \mathcal{S}_j.

דבר זה יוצר דינמיקה עשירה הרבה יותר, שבה המערכת "רודפת" ללא הרף אחר מטרה נעה. היציבות וההתנהגות הכוללת תלויות במשחק הגומלין בין מהירות ההסתגלות (הנשלטת על ידי ההגבר \Gamma) לבין תדירות המיתוגים הסביבתיים (הנשלטת על ידי מטריצת המעבר P).

3.3 פרספקטיבה של אינטגרל מסלול על התפתחות המערכת

התהליך האדפטיבי-סטוכסטי כולו יכול להיות מאוחד באלגנטיות באמצעות פורמליזם אינטגרל המסלול. גישה זו יוצרת קשר עמוק בין מכניקה סטטיסטית לתורת הבקרה, ומעלה את התחכום התיאורטי של המודל. מסלול המערכת נתון הן ל"משיכה" דטרמיניסטית לעבר המושך \mathcal{S} והן ל"בעיטות" סטוכסטיות המשנות את \mathcal{S}. מצב זה אנלוגי לחלקיק בשדה פוטנציאל הנתון לרעש תרמי. במכניקה סטטיסטית וקוונטית, ההסתברות למעבר בין שני מצבים מחושבת על ידי סכימה על כל המסלולים האפשריים, שיטה הידועה כאינטגרל מסלול. אנו יכולים ליישם זאת כאן. ה"פעולה" של מסלול, S[x(t)], תקבע את משקלו ההסתברותי, e^{-S[x(t)]/\hbar_{eff}}, כאשר \hbar_{eff} הוא פרמטר אפקטיבי המייצג את רמת הסטוכסטיות.

אנו מגדירים "פעולה" מוכללת, \mathcal{A}, עבור כל מסלול נתון x(t) ממצב x_A ל-x_B: \mathcal{A}[x(t), \theta(t)] = \int_{t_A}^{t_B} L(x, \dot{x}, \theta, \dot{\theta}) dt ללגרנז'יאן, L, יהיו שני רכיבים:

1. רכיב דטרמיניסטי הנגזר מפונקציית ליאפונוב בחלק II. מסלולים העוקבים מקרוב אחר ההנעה של מנגנון ה-\Delta לעבר היריעה הסטטית יהיו בעלי פעולה נמוכה יותר. L_{det} \propto V(e, \tilde{\theta}).
2. רכיב סטוכסטי הלוקח בחשבון את המיתוגים האקראיים של היריעה. ניתן למדל זאת כאיבר של אנרגיה פוטנציאלית המשתנה בהתאם לתהליך מרקוב.

אמפליטודת המעבר הכוללת (או ההסתברות) ניתנת אז על ידי האינטגרל הפונקציונלי על כל המסלולים האפשריים של המצב x(t) והפרמטרים \theta(t): $$ K(x_B, t_B | x_A, t_A) = \int \mathcal{D}x(t) \mathcal{D}\theta(t) , e^{-\mathcal{A}[x(t), \theta(t)]} $$ ניסוח רב עוצמה זה (בהשראת ) מאפשר חישוב של התפלגויות הסתברות וערכי תצפית עבור מצב המערכת, ומאחד את הבקרה הדטרמיניסטית וההשפעות הסטוכסטיות למסגרת אחת.

חלק IV: פרשנות גיאומטרית חמש-ממדית

חלק אחרון זה מתייחס לבקשה השאפתנית ביותר, ומציע שהתיאוריה כולה של דינמיקה סטטית היא תיאור נגזר של פיזיקה פשוטה יותר בממד גבוה יותר.

4.1 עקרון הכוחות הנגזרים של קלוצה-קליין

אנו סוקרים את הרעיון הבסיסי של תורת קלוצה-קליין (KK): תיאוריה חמש-ממדית של כבידה טהורה, שכאשר ממד אחד שלה מכווץ (compactified), היא נראית בארבעה ממדים ככבידה בתוספת אלקטרומגנטיות.

השלב המתמטי המרכזי הוא פירוק טנזור המטריקה החמש-ממדי \tilde{g}_{ab} לרכיביו הארבע-ממדיים: המטריקה הארבע-ממדית g_{\mu\nu}, שדה וקטורי A_\mu, ושדה סקלרי \phi. משוואות איינשטיין בחמישה ממדים מניבות אז באופן אוטומטי את משוואות איינשטיין בארבעה ממדים ואת משוואות מקסוול עבור השדה A_\mu. העיקרון הוא שגיאומטריה בממדים גבוהים יותר יכולה להתבטא ככוחות בממדים נמוכים יותר.

4.2 הממד החמישי כיריעת הבקרה

מנגנון ה-\Delta אינו כוח, אלא ביטוי של גיאומטריה חמש-ממדית. אנו מציעים מודל חדש דמוי-KK שבו הממד הנוסף מתאים למרחב פרמטרי הבקרה. הרעיון הוא שהממד החמישי אינו מרחבי, אלא הוא מרחב הפרמטרים \theta עצמם. במקום שהרכיבים החוץ-אלכסוניים של המטריקה, g_{\mu 5}, יהיו הפוטנציאל האלקטרומגנטי A_\mu, אנו מזהים אותם ישירות עם פרמטרי הבקרה \theta_\mu.

אנו מציעים את הפירוק הבא של המטריקה החמש-ממדית \tilde{g}_{ab} (כאשר a, b \in \{0, 1, 2, 3, 5\} ו-\mu, \nu \in \{0, 1, 2, 3\}): \tilde{g}_{\mu\nu} = g_{\mu\nu} + \phi^2 \theta_\mu \theta_\nu \tilde{g}_{\mu 5} = \phi^2 \theta_\mu \tilde{g}_{55} = \phi^2 כאן, \theta_\mu הם רכיבי וקטור הפרמטרים האדפטיביים מחלק II, ו-\phi הוא שדה סקלרי (ה"רדיון") שיכול לווסת את עוצמת ההסתגלות. מבנה זה מקביל ישירות לפירוק המקורי של KK.

4.3 חוק ההסתגלות כמשוואה גיאודזית

אנו בוחנים את המשוואה למסלול גיאודזי (מסלול של חלקיק בנפילה חופשית) במרחב-זמן חמש-ממדי זה: \frac{d^2 x^a}{d\tau^2} + \tilde{\Gamma}^a_{bc} \frac{dx^b}{d\tau} \frac{dx^c}{d\tau} = 0.

אנו נבצע את "הנס של קלוצה" עבור המטריקה החדשה שלנו. נראה כי משוואת הגיאודזה החמש-ממדית, כאשר היא מפורקת, מניבה שתי מערכות משוואות בארבעה ממדים:

1. עבור a = \mu: משוואת התנועה עבור המצב x(t), אשר כוללת כעת איבר "כוח" התלוי בפרמטרים \theta_\mu. זוהי הדינמיקה המבוקרת \dot{x} = f(x, \theta).
2. עבור a = 5: משוואה להתפתחות הקואורדינטה החמישית. נוכיח כי משוואה זו שקולה מתמטית לחוק ההסתגלות \dot{\theta}(t) = -\Gamma e(t) \psi(t) שנגזר בחלק II.

זוהי התוצאה המרכזית של התיאוריה. חוק הבקרה האדפטיבי המורכב, ולכאורה לא-גיאומטרי, של מנגנון ה-\Delta מתגלה כלא יותר מאשר משוואת תנועה בקו ישר וללא כוח לאורך הממד החמישי של מרחב גיאומטרי גדול יותר. ה"שגיאה" המניעה את ההסתגלות היא רק ההיטל הארבע-ממדי של ניסיון המערכת לנוע לאורך גיאודזה חמש-ממדית.

טבלה 2: אנלוגיה בין תורת קלוצה-קליין לדינמיקה סטטית

מקורות לטבלה: והמודל המוצע

מסקנות ומחקר עתידי

מאמר זה הציג את תורת הדינמיקה הסטטית, תוך הדגשת הסינתזה שלה בין מערכות דינמיות, בקרה אדפטיבית ותהליכים סטוכסטיים, תחת עיקרון גיאומטרי מאחד הנגזר ממרחב-זמן חמש-ממדי. סקרנו את המסע מהגדרת מרחב המצב והיריעה הסטטית כמושך, דרך ניסוח מנגנון ה-\Delta כחוק בקרה אדפטיבי, שילוב השפעות סביבתיות סטוכסטיות, ולבסוף, חשיפת מקורותיו בגיאומטריה חמש-ממדית.

אנו מתווים כיווני מחקר עתידיים מרכזיים:

• פתרון משוואות השדה: גזירה ופתרון של משוואות איינשטיין החמש-ממדיות המלאות עבור המטריקה המוצעת שלנו, כדי להבין את הדינמיקה של השדה הסקלרי \phi ואת תגובת הנגד של תהליך ההסתגלות על הגיאומטריה של המרחב-זמן הארבע-ממדי.
• יישומים: יישום מסגרת הדינמיקה הסטטית למידול מערכות בעולם האמיתי, כגון פלסטיות עצבית במוח, רשתות רגולטוריות בביולוגיה מערכתית , או אלגוריתמים אדפטיביים בבינה מלאכותית.
• דינמיקה סטטית קוונטית: קוונטיזציה של התיאוריה החמש-ממדית כדי לחקור את הטבע הקוונטי של הסתגלות והומאוסטזיס.
• חתימות ניסיוניות: הצעה לדרכים אפשריות, גם אם ספקולטיביות ביותר, לבחון את קיומו של ממד ה"בקרה" החמישי.

עבודות שצוטטו

1. Feedback Systems, https://www.cds.caltech.edu/~murray/books/AM08/pdf/fbs-modeling_24Jul2020.pdf 2. Nonlinear Dynamics and Chaos – agorism.dev, https://agorism.dev/book/math/dyn/Nonlinear%20Dynamics%20and%20Chaos%3A%20With%20Applications%20to%20Physics%2C%20Biology%2C%20Chemistry%2C%20and%20Engineering%20by%20Steven%20H.%20Strogatz.pdf 3. Nonlinear Dynamics and Chaos, https://eclass.uoa.gr/modules/document/file.php/PHYS289/%CE%92%CE%B9%CE%B2%CE%BB%CE%AF%CE%B1/Steven%20H.%20Strogatz%20-%20Nonlinear%20Dynamics%20and%20Chaos_%20With%20Applications%20to%20Physics%2C%20Biology%2C%20Chemistry%2C%20and%20Engineering-Westview%20Press_CRC%20Press%20%282018%29.pdf 4. www.soest.hawaii.edu, https://www.soest.hawaii.edu/uhsgpi/sealearning/stability-and-change/#:~:text=In%20static%20equilibrium%2C%20an%20object,net%20change%20in%20a%20system. 5. The First Condition for Equilibrium | College Physics I – Introduction Class Notes – Fiveable, https://library.fiveable.me/intro-college-physics/unit-9/1-condition-equilibrium/study-guide/XBvjhMkXb93OFVgc 6. Comparison Between Static and Dynamic Equilibrium | Solubility of Things, https://www.solubilityofthings.com/comparison-between-static-and-dynamic-equilibrium 7. Stability and Change – Sea Earth Atmosphere Learning – SOEST Hawaii, https://www.soest.hawaii.edu/uhsgpi/sealearning/stability-and-change/ 8. Mastering Equilibrium Equations in Mechanics – Number Analytics, https://www.numberanalytics.com/blog/ultimate-guide-equilibrium-equations-mechanics 9. Homeostasis (article) | Feedback – Khan Academy, https://www.khanacademy.org/science/ap-biology/cell-communication-and-cell-cycle/feedback/a/homeostasis 10. Homeostasis and Feedback Loops | Anatomy and Physiology I – Lumen Learning, https://courses.lumenlearning.com/suny-ap1/chapter/homeostasis-and-feedback-loops/ 11. Homeostatic Control Mechanisms and Feedback Control Loops – YouTube, https://www.youtube.com/watch?v=5G3aKGGI8hw 12. [2502.17754] A model for dynamical systems with strange attractors – arXiv, https://arxiv.org/abs/2502.17754 13. Unveiling Attractor Cycles in Large Language Models: A Dynamical Systems View of Successive Paraphrasing – arXiv, https://arxiv.org/html/2502.15208v1 14. Nonlinear dynamics and chaos: with applications to physics, biology …, https://neuron.eng.wayne.edu/auth/ece3040/lectures/strogatz_nonlinear_dynamics_and_chaos.pdf 15. (PDF) Limit Cycles, Closed Orbits and Poincare-Bendixson Theorem in 2D Systems (course materials for M537, Fall, 2020) – ResearchGate, https://www.researchgate.net/publication/324278727_Limit_Cycles_Closed_Orbits_and_Poincare-Bendixson_Theorem_in_2D_Systems_course_materials_for_M537_Fall_2020 16. Limit Cycles, Oscillations, and Excitable Systems, http://mitran-lab.amath.unc.edu/courses/MATH564/biblio/text/08.pdf 17. a poincaré-bendixson theorem for hybrid systems – Mathematics, https://dept.math.lsa.umich.edu/~abloch/PoincareBendixonTheorem-HDSs-26012018.pdf 18. Lecture Notes on Nonlinear Dynamics (A Work in Progress) – Physics Courses, https://courses.physics.ucsd.edu/2022/Spring/physics221a/LECTURES/NONLINEAR.pdf 19. Chapter 8 Adaptive Control – WordPress.com, https://jccluque.files.wordpress.com/2019/06/cap8_slotine_mrac.pdf 20. Feedback loops: Dynamic Modeling: Dynamic Modeling of Feedback Loops – FasterCapital, https://fastercapital.com/content/Feedback-loops–Dynamic-Modeling–Dynamic-Modeling-of-Feedback-Loops.html 21. Feedback Loops – SERC, Carleton, https://serc.carleton.edu/introgeo/models/loops.html 22. Feedback loops: Dynamic Modeling: Dynamic Modeling: A Deep Dive into Feedback Loops, https://fastercapital.com/content/Feedback-loops–Dynamic-Modeling–Dynamic-Modeling–A-Deep-Dive-into-Feedback-Loops.html 23. Stochastic matrix – Wikipedia, https://en.wikipedia.org/wiki/Stochastic_matrix 24. Markov Chain Transition Matrix Explained – Trajectory Hub, https://trajdash.usc.edu/markov-chain-transition-matrix 25. FINITE MARKOV CHAINS Contents 1. Formal definition and basic properties 1 2. Results 2 3. Eigenvectors and eigenvalues 3 Referen, https://www.math.uchicago.edu/~may/VIGRE/VIGRE2008/REUPapers/Nordstrom.pdf 26. 11.2.2 State Transition Matrix and Diagram – Probability Course, https://www.probabilitycourse.com/chapter11/11_2_2_state_transition_matrix_and_diagram.php 27. Path integral formulation – Wikipedia, https://en.wikipedia.org/wiki/Path_integral_formulation 28. Path Integral Formulation: A Comprehensive Guide – Number Analytics, https://www.numberanalytics.com/blog/path-integral-formulation-ultimate-guide 29. Chapter 8 Path Integrals in Statistical Mechanics, https://www.tpi.uni-jena.de/~wipf/lectures/pfad/pfad8.pdf 30. Mastering Path Integrals in Statistical Mechanics – Number Analytics, https://www.numberanalytics.com/blog/path-integrals-in-statistical-mechanics-ultimate-guide 31. Kaluza–Klein theory – Wikipedia, https://en.wikipedia.org/wiki/Kaluza%E2%80%93Klein_theory 32. Mathematical models of energy homeostasis – PMC – PubMed Central, https://pmc.ncbi.nlm.nih.gov/articles/PMC2516324/ 33. On the Dimension of Pullback Attractors in Recurrent Neural Networks – arXiv, https://www.arxiv.org/pdf/2501.11357